A Brief of Mathematics
Miftachul Hadi (Fisika LIPI)
Apa itu Matematika ?
Matematika adalah studi tentang kuantitas, struktur, ruang dan perubahan. Matematika dikembangkan melalui penggunaan abstraksi dan penalaran logis, mulai dari penghitungan, pengukuran dan studi bentuk serta gerak objek fisis.
Kuantitas
Kuantitas adalah istilah umum yang digunakan ketika merujuk pada pengukuran (perhitungan, jumlah) dari skalar, vektor, jumlah benda atau suatu cara lain dari satuan nilai himpunan.
Contoh:
Satu apel, dua mangga, tiga jambu, dimana bilangan adalah sebuah integer sehingga tidak memerlukan tipe.
1,5 liter susu.
Suatu bilangan bukanlah kuantitas, bukan pula pengukuran.
Struktur
Struktur dari sesuatu adalah bagaimana bagian-bagian dari sesuatu itu berhubungan satu sama lain, bagaimana bagian-bagian tersebut "diletakkan bersama-sama".
Ruang
Dalam matematika, ruang adalah sebuah himpunan, biasanya dengan beberapa struktur tambahan. Contoh: ruang Euclidean, ruang vektor, ruang metrik, ruang topologi.
Definisi ruang dalam fisika adalah beragam. Berbagai konsep digunakan untuk mencoba mendefinisikan ruang:
Struktur didefinisikan oleh himpunan "relasi ruang" antara objek-objek.
Manifold didefinisikan oleh sistem koordinat dimana suatu objek dapat ditempatkan yang memisahkan objek satu sama lain.
Dalam fisika klasik, ruang adalah ruang Euclidean tiga dimensi dimana sembarang posisi dapat dideskripsikan dengan menggunakan tiga koordinat. Fisika relativistik memeriksa ruang-waktu ketimbang ruang; ruang-waktu dimodelkan sebagai manifold empat dimensi.
Perubahan
Perubahan adalah kualitas yang tak tetap dan terus-menerus. Isaac Newton dan Gottfried Leibniz menggunakan konsep matematika dalam kalkulus untuk menyediakan model matematika dari perubahan.
Kalkulus
Kalkulus adalah cabang utama matematika, dikembangkan dari aljabar dan geometri, dan dibangun di atas dua konsep utama yang saling melengkapi.
Konsep pertama adalah kalkulus diferensial. Ini mempelajari laju perubahan, yang biasanya digambarkan oleh kemiringan garis. Kalkulus diferensial didasarkan pada soal mencari laju perubahan sesaat dari satu kuantitas terhadap kuantitas yang lain.
Contoh soal kalkulus diferensial yang khas adalah mencari kuantitas berikut:
Percepatan dan kecepatan benda jatuh bebas pada waktu tertentu.
Berkurangnya kecepatan dan lintasan peluru meriam.
Konsep kedua adalah kalkulus integral. Ini mempelajari kumpulan kuantitas, misal luasan di bawah kurva, jarak, volume.
Kalkulus Diferensial
Turunan mengukur kepekaan dari satu variabel terhadap perubahan kecil dalam variabel lain. Tinjau formula berikut:
kecepatan=jarak\waktu,
untuk objek yang bergerak pada kecepatan konstan. Kecepatan (yakni, suatu turunan) mendeskripsikan perubahan lokasi relatif terhadap perubahan waktu.
Kalkulus diferensial menentukan kecepatan sesaat, pada sembarang waktu sesaat, tidak hanya kecepatan rata-rata selama suatu interval waktu. Turunan menjawab pertanyaan: ketika waktu mendekati nol, kecepatan rata-rata (jarak/waktu) mendekati apa? Dalam bahasa matematika, ini adalah contoh dari "pengambilan limit".
Lebih formal, kalkulus diferensial mendefinisikan laju perubahan sesaat (turunan) dari nilai fungsi matematika, berkaitan dengan perubahan variabel. Turunan didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi perbedaan.
Hukum gerak Newton, gaya = massa x percepatan, memiliki makna dalam kalkulus karena percepatan adalah turunan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori gravitasi Einstein (relativitas umum) juga dinyatakan dalam bahasa kalkulus diferensial.
Kalkulus Integral
Integral tertentu mengevaluasi pengaruh kumulatif dari banyak perubahan kecil di dalam suatu kuantitas. Contoh paling sederhana adalah formula
jarak = kecepatan x waktu
untuk menghitung jarak suatu benda yang berpindah selama suatu periode waktu ketika benda tersebut bergerak dengan kecepatan konstan. Jarak perpindahan adalah pengaruh kumulatif dari perpindahan jarak-jarak kecil di tiap-tiap detik. Kalkulus dapat berkaitan dengan situasi alami untuk benda bergerak dengan perubahan kecepatan.
Dasar-dasar yang kokoh dari kalkulus didasarkan pada ide fungsi dan limit. Dalam matematika, fungsi adalah relasi, sedemikian hingga masing-masing elemen dari himpunan (daerah asal, domain) dikaitkan dengan elemen unik dari himpunan lain (mungkin sama) yakni kodomain.
Fungsi dan Limit
Dasar-dasar yang kokoh dari kalkulus didasarkan pada ide fungsi dan limit. Dalam matematika, fungsi adalah relasi, sedemikian hingga masing-masing elemen dari himpunan daerah asal (domain) dikaitkan dengan elemen unik dari himpunan lain (mungkin sama) yakni kodomain. Istilah fungsi, pemetaan, dan transformasi biasanya digunakan secara sinonim. Fungsi yang domainnya adalah himpunan fungsi, atau ruang vektor, sering disebut operator.
Utamanya, fungsi adalah "aturan" yang menugaskan sebuah output untuk tiap-tiap input yang diberikan. Aturan mendefinisikan suatu fungsi dapat dispesifikasi oleh suatu formula, relasi, atau tabel yang mendaftar output terhadap input. Pola terpenting dari suatu fungsi adalah ia bersifat deterministik, yakni selalu menghasilkan output yang sama dari input yang sama. Input sering disebut argumen fungsi, dan output disebut nilai fungsi.
Tipe sangat umum dari fungsi terjadi ketika argumen dan nilai fungsi keduanya adalah bilangan, relasi fungsional dinyatakan oleh suatu formula, dan nilai fungsi diperoleh dengan mensubstitusi langsung argumen ke dalam formula.
Suatu fungsi mengaitkan sebuah "domain" (himpunan input) dengan "kodomain" (himpunan output yang mungkin) dalam suatu cara sehingga setiap elemen dari domain dihubungkan dengan tepat satu elemen dari kodomain. Fungsi secara abstrak didefinisikan sebagai relasi tertentu. Karena bentuk umum ini, konsep fungsi adalah mendasari hampir setiap cabang matematika.
Definisi Formal
Secara formal, fungsi f dari himpunan X nilai input terhadap himpunan Y nilai output yang mungkin (ditulis ebagai f:X Y) adalah relasi antara X dan Y yang memenuhi:
f adalah total, atau keseluruhan: untuk seluruh x dalam X, terdapat sebuah y dalam Y sehingga x f y (x terhubungkan f menuju y), yakni untuk tiap-tiap nilai input, terdapat paling sedikit satu nilai output dalam Y.
f adalah banyak-menuju-satu, atau fungsional: jika x f y dan x f z, maka y=z, yakni, banyak nilai input dapat dihubungkan terhadap satu nilai output, tetapi satu nilai input tidak dapat dihubungkan terhadap banyak nilai output.
Untuk tiap-tiap nilai input x dalam domain, y nilai output unik terkait dalam kodomain dinyatakan oleh f(x). Pernyataan yang lebih ringkas dari definisi di atas adalah sebagai berikut: sebuah fungsi dari X terhadap Y adalah sebuah sub himpunan f dari perkalian kartesian X kali Y, sehingga untuk tiap-tiap x dalam X, terdapat y unik dalam Y sehingga pasangan terurut (x,y) adalah dalam f.
Himpunan dari seluruh fungsi f:X Y dinyatakan oleh YX. Catat bahwa |YX|=|Y||X| (merujuk bilangan utama). Relasi antara X dan Y yang memenuhi syarat
adalah fungsi bernilai ganda. Setiap fungsi adalah fungsi bernilai ganda, tetapi tidak setiap fungsi bernilai ganda adalah fungsi. Relasi antara X dan Y yang memenuhi syarat;
adalah fungsi parsial. Setiap fungsi adalah fungsi parsial, tetapi tidak setiap fungsi parsial adalah fungsi. Dalam bahasan ini, istilah "fungsi" akan berarti sebuah relasi yang memenuhi kedua syarat tersebut kecuali jika dinyatakan lain.
Domain, Kodomain dan Range
X, himpunan nilai-nilai input, disebut domain f, dan Y, himpunan nilai output yang mungkin, disebut kodomain. Range f adalah himpunan dari seluruh output aktual f(x):x dalam domain. Hati-hati, terkadang kodomain secara tidak benar disebut range karena ketidakmampuan membedakan antara nilai aktual dan nilai yang mungkin.
Fungsi-fungsi dinamai setelah range mereka, sebagai misal fungsi riil dan fungsi kompleks. Endofungsi adalah fungsi yang domain dan range adalah identik.
Fungsi Injektif, Surjektif dan Bijektif
Beberapa sifat fungsi yang sangat berguna memiliki nama-nama khusus:
Fungsi injektif (satu-satu) mengirimkan argumen berbeda terhadap nilai berbeda; dalam kata lain, jika x1 dan x2 adalah anggota domain f, maka f(x1)=f(x2) hanya jika x1=x2.
Fungsi surjektif (ke) memiliki range sama dengan kodomain mereka; dalam kata lain, jika y adalah sembarang anggota kodomain f, maka terdapat paling sedikit satu x sehingga f(x)=y.
Fungsi bijektif adalah kedua fungsi injektif dan surjektif; mereka seringkali digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan X dan Y adalah "ukuran sama" dalam beberapa pengertian.
Grafik Fungsi
Grafik fungsi f adalah himpunan dari seluruh pasangan terurut (x,f(x)), untuk seluruh x dalam domain X.
Contoh fungsi:
Relasi ln antara x bilangan riil positip dan ln(x)logaritma natural mereka. Catat bahwa relasi antara bilangan riil dan logaritma natural bukan suatu fungsi karena tidak setiap bilangan riil memiliki logaritma natural; yakni, relasi ini tidak total.
Sifat-sifat Fungsi
Fungsi dapat bersifat:
ganjil atau genap;
kontinu atau diskontinu;
riil atau kompleks;
skalar atau vektor.
Contoh Fungsi
Fungsi Rancu
Sebuah fungsi rancu (ambiguous) adalah persamaan matematika yang dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Contoh, akar kuadrat dari 4 adalah -2 atau 2 sebagaimana kuadrat keduanya adalah 4.
Dengan tegas dikatakan, fungsi rancu tidaklah sungguh-sungguh suatu fungsi karena fungsi matematika didefinisikan sebagai memiliki "output unik terhadap masing-masing input yang diberikan". Dalam fakta, "fungsi" demikian adalah lebih baik dikategorikan sebagai relasi.
Fungsi n-ari: Fungsi Beberapa Variabel
Fungsi dalam penerapan seringkali adalah fungsi beberapa variabel, atau fungsi multivariasi: nilainya gayut pada jumlah faktor berbeda. Dari titik pandang matematika, seluruh variabel harus dibuat secara secara eksplisit agar memiliki relasi fungsional - tak diperkenankan ada faktor 'tersembunyi'. Lagi, dari tinjauan matematika, tak ada beda kualitatif antara fungsi satu variabel dan fungsi beberapa variabel. Sebuah fungsi dari tiga variabel riil adalah hanya fungsi yang terterapkan terhadap bilangan riil tripel.
Fungsi Komposisi
Fungsi f:X Y dan g:Y Z dapat disusun dengan pertama-tama menerapkan f terhadap argumen x dan kemudian menerapkan g terhadap hasil. Jadi, kita memperoleh fungsi komposisi g 0 f:X Z didefinisikan oleh (g 0 f)(x)=g(f(x)) untuk seluruh x dalam X. Sebagai contoh, anggap bahwa ketinggian pesawat terbang pada waktu t diberikan oleh fungsi h(t) dan konsentrasi oksigen pada ketinggian x diberikan oleh fungsi c(x). Maka (c 0 h)(t) mendeskripsikan konsentrasi oksigen di sekeliling pesawat pada waktu t.
Limit
Dalam matematika, konsep "limit" digunakan untuk mendeskripsikan perilaku fungsi, ketika argumen "mendekati" sembarang titik, atau ketakhinggaan; atau perilaku urutan elemen, ketika indeksnya mendekati ketakhinggaan. Limit digunakan dalam kalkulus dan matematika analisis untuk mendefinisikan turunan dan kontinuitas.
Limit Fungsi pada Sebuah Titik
Anggap f(x) adalah fungsi riil dan c adalah bilangan riil. Pernyataan:
limx-->cf(x)=L
berarti bahwa f(x) dapat dibuat mendekati L sebagaimana diharapkan dengan membuat x cukup dekat terhadap c. Dalam hal tersebut, kita katakan bahwa "limit f(x), ketika x mendekati c, adalah L". Catat bahwa pernyataan ini dapat menjadi benar bahkan jika f(c) tak sama dengan L. Sungguh-sungguh, fungsi f(x) bahkan tak perlu didefinisikan pada c.
Definisi Formal
Limit secara formal didefinisikan sebagai berikut: Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung c (kecuali mungkin pada c) dan misalkan L menjadi bilangan riil. Pernyataan
limx-->cf(x)=L
berarti bahwa untuk masing-masing epsilon > 0 terdapat delta > 0 sehingga untuk seluruh x dimana 0 < |x-c| <\epsilon.
Limit Fungsi pada Ketakhinggaan Kita tak perlu menguji limit hanya ketika x mendekati bilangan hingga; kita dapat juga menguji limit fungsi ketika x mendekati ketakhinggaan positip atau negatip. Jika kita meninjau kodomain dari f adalah garis riil perluasan, maka limit fungsi pada ketakhinggaan dapat ditinjau sebagai kasus khusus dari limit fungsi pada suatu titik.
Limit Barisan
Tinjau barisan berikut: 1,79, 1,799, 1,7999, ... . Kita dapat mengamati bahwa bilangan "mendekati" 1,8, limit barisan. Secara formal, anggap x1,x2,... adalah barisan dari bilangan riil. Kita katakan bahwa bilangan riil L adalah limit barisan ini dan kita tulis limn-->tak hinggaxn=L jika dan hanya jika
untuk setiap varepsilon > 0 terdapat sebuah bilangan natural n0 (yang akan gayut pada varepsilon)
sehingga untuk seluruh n > n0 kita memiliki |xn-L| < varepsilon. Secara intuitif, ini berarti bahwa dengan segera seluruh elemen dari barisan mendekati limit, karena nilai absolut |xn-L| dapat diinterpretasi sebagai "jarak" antara xn dan L. Tidak setiap barisan memiliki limit; jika barisan memiliki limit, kita menyebutnya konvergen, selain itu disebut divergen. Kita dapat menunjukkan bahwa barisan konvergen memiliki hanya satu limit.
Teorema Fundamental Kalkulus
Teorema fundamental kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah, dalam arti tertentu, operasi kebalikan. Lebih tepat, antiturunan dapat dihitung dengan integral definit, dan kebalikannya. Hubungan ini memperkenankan kita untuk memulihkan perubahan total dalam suatu fungsi yang meliputi interval dari laju perubahan sesaatnya, dengan mengintegrasi kemudian. Teorema fundamental menyediakan sebuah metode aljabar dari penghitungan banyak integral definit - tanpa melakukan proses limit - dengan mencari formula antiturunan. Ini juga solusi prototipe dari persamaan turunan. Persamaan turunan menghubungkan fungsi tak dikenal dengan turunannya, dan ada di mana-mana dalam sains.
Teorema fundamental kalkulus:
- Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan F adalah sebuah antiturunan dari f pada interval [a,b], maka \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
- Jika f adalah kontinu pada interval terbuka I yang mengandung a, maka, untuk setiap x dalam interval, \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x).
Aljabar
Aljabar adalah cabang matematika yang secara kasar dicirikan sebagai bentuk umum dan perluasan aritmetika, dimana simbol digunakan untuk menyatakan operasi, dan huruf untuk mewakili bilangan dan kuantitas; ini juga merujuk jenis khusus dari struktur aljabar abstrak, aljabar tentang medan. Kata aljabar berasal dari Arab
Aritmetika
Aritmetika (dari bahasa Yunani yang berarti bilangan) dalam penggunaan umum adalah cabang (atau pelopor) matematika yang mencatat sifat-sifat elementer operasi tertentu pada angka, ini seringkali dianggap sebagai sinonim untuk teori bilangan.
Geometri
Geometri (dari bahasa Yunani, Ge = bumi dan metro = mengukur) adalah cabang matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) berkenaan dengan relasi ruang. Dari pengalaman, atau intuisi, kita mencirikan ruang dengan kualitas fundamental tertentu, yang disebut aksioma dalam geometri. Aksioma demikian tak mempan terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan definisi matematika untuk titik, garis lurus, kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan logis. Karena penerapan praktis yang segera, geometri adalah salah satu cabang matematika pertama yang dikembangkan. Demikian juga, ini adalah bidang pertama yang diletakkan pada basis aksiomatik oleh Euclid. Ilmuwan Yunani berminat dalam banyak pertanyaan tentang konstruksi penggaris dan kompas.
Sumber : Wikipedia Encyclopedia
0 komentar:
Posting Komentar